Question

【题目】如图，已知椭圆过点，且离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，，且，求直线过定点的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）将代入椭圆方程，结合离心率和的关系即可求得结果；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，根据可求得直线方程为；当直线斜率存在时，设直线为，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式；将韦达定理代入中可整理得，从而可知直线恒过定点；又也过点，从而可知即为所求定点.

（Ⅰ）椭圆过点

代入可得：

又，，解得：

所求椭圆的方程为：

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，设直线方程为

则，，则，

当直线的斜率存在时，设直线方程为：

与椭圆方程联立得：

设，，则有（*）

将（*）式代入，化简可得：

即

直线

直线过定点的坐标是

综上所述：直线过定点