题目内容
若函数f（x）=ax3+x+3恰有3个单调区间，则a的取值范围是 ．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的概念及应用
分析：由题意得f′（x）=3ax2+1．讨论若a≥0，若a＜0时的情况，从而求出a的范围．
解答：
解：由f（x）=ax3+x+3，得f′（x）=3ax2+1．
若a≥0，f′（x）≥0恒成立，
此时f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，函数只有一个增区间，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0，得-
＜x＜
，
由f′（x）＜0，得x＞
或x＜-
，
∴满足f（x）=ax3+x恰有三个单调区间的a的范围是（-∞，0）；
故答案为：（-∞，0）．
若a≥0，f′（x）≥0恒成立，
此时f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，函数只有一个增区间，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0，得-
-
|
-
|
由f′（x）＜0，得x＞
-
|
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∴满足f（x）=ax3+x恰有三个单调区间的a的范围是（-∞，0）；
故答案为：（-∞，0）．
点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，渗透分类讨论思想，是一道基础题．
练习册系列答案
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