Question

9．己知y=f（x）为R上的连续可导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则函数g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零点个数为0．

Answer 1

分析 求导g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，从而可得g（x）在其定义域上单调递增；再由g（0）=0+1=1，从而判断．

解答 解：∵g（x）=xf（x）+1，
∴g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，
故g（x）在其定义域上单调递增；
∵y=f（x）为R上的连续可导函数，
∴函数g（x）=xf（x）+1在R上连续；
又∵g（0）=0+1=1，
∴函数g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零点个数为0；
故答案为：0．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判定定理的应用．