Question

18．已知z=m+1+（3m-2）i（m∈R）．
（1）若|z|≤5，求实数m的取值范围；
（2）求|z|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据模长公式解不等式|z|≤5，即可求实数m的取值范围；
（2）根据复数求|z|的表达式，结合一元二次函数的性质即可求最小值．

解答 解：（1）若|z|≤5，
即$\sqrt{（m+1）^{2}+（3m-2）^{2}}$≤5，
即（m+1）²+（3m-2）²≤25，
即10m²-10m-20≤0，
即m²-m-2≤0，
得-1≤m≤2，
即实数m的取值范围是[-1，2]；
（2）|z|²=（m+1）²+（3m-2）²=10m²-10m+5=10（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{2}$，
∴当m=$\frac{1}{2}$时，|z|²取得最小值$\frac{5}{2}$，
即|z|=$\sqrt{（m+1）^{2}+（3m-2）^{2}}$的最小值$\sqrt{\frac{5}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题主要考查复数模长公式的应用，结合一元二次函数和一元二次不等式是解决本题的关键．