Question

已知函数．
（1）当且，时，试用含的式子表示，并讨论的单调区间；
（2）若有零点，，且对函数定义域内一切满足的实数有．
①求的表达式；
②当时，求函数的图像与函数的图像的交点坐标．

Answer 1

（1）时，的单调增区间是，，单调减区间是；时，的单调增区间，，单调减区间为；
（2）①；②.

试题分析：（1）先求出导函数，进而由，于是，针对分、两种情况，分别求出、的解即可确定函数的单调区间；（2）①先由条件得到的一个不等关系式，再由有零点，且对函数定义域内一切满足的实数有，作出判断的零点在内，设，则可得条件即，结合即可确定的取值，进而可写出的解析式；②设，先通过函数的导数确定函数在的单调性，进而求出在的零点，进而即可求出与的图像在区间上的交点坐标.
（1）          2分
由，故
时，由得的单调增区间是，
由得单调减区间是
同理时，的单调增区间，，单调减区间为    5分
（2）①由（1）及（i）
又由有知的零点在内，设，
则即
所以由条件
此时有      8分
∴     9分
②又设，先求与轴在的交点
∵，由得
故，在单调递增
又，故与轴有唯一交点
即与的图象在区间上的唯一交点坐标为为所求    13分.