题目内容

如图，在三棱锥-P-ABCD中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=，∠ABC=∠APC=90°，
（1）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（2）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值。

解：（1）取AC中点O，因为AB=BC，
所以OB⊥OC，
∵平面ABC⊥平面APC，平面ABC∩平面APC=AC，
∴OB⊥平面PAC，
∴OB⊥OP，
以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为 x、y、z轴
建立如图
所示空间直角坐标系，
因为AB=BC=PA=，
所以OB=OC=OP=1，
从而O（0，0，0），B（1，0，0），
A（0，-1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴，
设平面PBC的法向量，
由得方程组，
取，
∴，
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。
（2）由题意平面PAC的法向量，
设平面PAM的法向量为，
∵，
又因为，
∴，
取，
，
∴，
∴n+1=3m或n+1=-3m（舍去），
∴B点到AM的最小值为垂直距离。
练习册系列答案
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精英家教网如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）求异面直线AB和PC所成角的大小．
精英家教网如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B-AP-C的大小．
如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=
2
PC=
2
AC=
2
BC．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC； 
（Ⅱ）求二面角P-AB-C所成角的余弦值．
如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=PA=PC，点O、D分别是AC、PC的中点．
（ I）求证：OD∥平面PAB；
（ II）求PB与平面ABC所成角．
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=1，则PC与底面ABC所成角的正切值为
2
2
2
2
．

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