Question

如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=PA=PC，点O、D分别是AC、PC的中点．
（ I）求证：OD∥平面PAB；
（ II）求PB与平面ABC所成角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形中位线的性质，可得线线平行，从而可得线面平行；
（Ⅱ）连接PO，OB，先证明∠PBO是直线PB与平面ABC所成角，再求PB与平面ABC所成角．

解答：（Ⅰ）证明：∵O、D分别为AC、PC中点，∴OD∥PA
∵PA∥平面PAB，
∴OD∥平面PAB---------（4分）
（Ⅱ）解：连接PO，OB
∵PA=PC，∴PO⊥AC
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC
∴PO⊥平面ABC
∴∠PBO是直线PB与平面ABC所成角
设AB=BC=PA=PC=1，则
∵AB⊥BC，∴0B=0C=

2

2

PO=

1-( 2 2 )2

=

2

2

∴tan∠PBO=

PO

OB

=1，∴∠PBO=45°
∴PB与平面ABC所成角为45°---------（6分）

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．