Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）求异面直线AB和PC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）要证明PA⊥平面PBC，即证明PA与平面PBC中两条相交的直线垂直，由已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，且BC⊥AB，根据面面垂直的性质定理，我们易得BC⊥平面PAB．再结合PA⊥PB，我们易得结论．
（2）要求二面角P-AC-B的大小，我们要先求二面角P-AC-B的平面角，作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM．由平面PAB⊥平面ABC，则PO⊥平面ABC，根据三垂线定理得PM⊥AC，则∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．解三角形PMO即可得到结果．
（3）要异面直线AB和PC所成角的大小，在底面ABC内分别过A、C作BC、AB的平行线，交于点D，连接OC，OD，PD．则∠PCD是异面直线AB和PC所成的角或其补角．解三角形PCD即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，
且BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．
∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC．
又∵PA⊥PB，∴PA⊥平面PBC．
（Ⅱ）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM．
∵平面PAB⊥平面ABC，∴PO⊥平面ABC，
根据三垂线定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．
设PA=PB=

6

，∵PA⊥PB，∴AB=2

3

，PO=BO=AO=

3

．
∵OM⊥AM，∠MAO=30°，∴OM=AO•sin30°=

AO

2

，∴tanPMO=

PO

OM

=

AO

OM

=2，
即二面角P-AC-B的大小是arctan2．

（Ⅲ）在底面ABC内分别过A、C作BC、AB的平行线，交于点D，
连接OC，OD，PD．
则∠PCD是异面直线AB和PC所成的角或其补角．
∵AB⊥BC，∠BAC=30°，
∴BC=AB•tan30°=2，OC=

OB2+BC2

=

7

，
∴PC=

PO2+CO2

=

10

．
易知底面ABCD为矩形，从而OC=OD，PC=PD．
在△PCD中，cosPCD=

1 2 CD

PC

=

30

10

，
∴异面直线AB和PC所成角的大小为arccos

30

10

．

点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠PMO为二面角P-AC-B的平面角，通过解∠PMO所在的三角形求得∠PMO．其解题过程为：作∠PMO→证∠PMO是二面角的平面角→计算∠PMO，简记为“作、证、算”．