Question

（2011•石景山区一模）已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}，a₁=a，a₂≠a₁，当n∈N^*且n≥2时，a_n=f（a_n-1），且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），其中a，k均为非零常数．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，求k的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），若b₁=1，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{a_n}为等比数列，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差数列的定义a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，a_n=f（a_n-1），易得k=1
（Ⅱ）利用等比数列的定义证明数列{b_n}是等比数列，进而写出数列{b_n}的通项公式
（Ⅲ）由数列{bn}是等比数列，即{a_n+1-a_n}是等比数列，利用累加法，可求得数列{a_n}的通项公式，若数列{a_n}为等比数列
则通项公式为a_n=Aq^n-1形式，经对照可得函数解析式

解答：解：（Ⅰ）由已知a_n=f（a_n-1），f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），
   a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），
∵数列{a_n}是等差数列，∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1
∴k=1
（Ⅱ）由b₁=a₂-a₁≠0，可得b₃=a₃-a₂=f（a₂）-f（a₁）=k（a₂-a₁）≠0
且当n＞2时
bn=a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）=…=k^n-1（a₂-a₁）≠0
且

bn

bn-1

=

an+1-an

an-an-1

=

f(an)-f(an-1)

an-an-1

=k
∴数列{b_n}是一个以首项为b₁，公比为k的等比数列
∴数列{b_n}的通项公式为  b_n=kⁿ（n∈N^*）
（Ⅲ）若数列{a_n}为等比数列，由（Ⅱ）得b_n=k^n-1（a₂-a₁）
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n-1=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a_n-a₁
∴a_n=a₁+（b₁+b₂+b₃+…+b_n-1）
当k=1时，a_n=a₁+（a₂-a₁）（n-1）（n≥2）
上式对n=1也成立，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=a+（f（a）-a）（n-1）
所以当k=1时，数列{a_n}是一个以首项为a，公差为f（a）-a的等差数列
∴k≠1
当k≠1时，a_n=a₁+（a₂-a₁）

1-kn-1

1-k

（n≥2）
上式对n=1也成立
∴a_n=a+（f（a）-a）

1-kn-1

1-k

=a+

f(a)-a

1-k

-

(f(a)-a)kn-1

1-k

∴a+

f(a)-a

1-k

=0
∴f（a）=ka
∴等式f（a）=ka对任意实数a均成立
∴f（x）=kx （k≠1）

点评：本题综合考查了等比、等差数列的定义及通项公式，累加法求数列的通项公式，与函数结合是本题的特色，对解题技巧有较高的要求，属于难题