Question

9．已知$α∈R，α≠\frac{π}{2}+kπ（{k∈Z}）$，设直线l：y=xtanα+m，其中m≠0，给出下列结论：
①直线l的方向向量与向量$\overrightarrow a=（{cosα，sinα}）$共线；
②若$0＜α＜\frac{π}{4}$，则直线l与直线y=x的夹角为$\frac{π}{4}-α$；
③直线l与直线xsinα-ycosα+n=0（n≠m）一定平行；
写出所有真命题的序号①②．

Answer 1

分析 ①求出直线l的方向向量，判断它与向量$\overrightarrow a=（{cosα，sinα}）$共线；
②求出直线l和直线y=x的斜率与倾斜角，即可得出两直线的夹角；
③根据两直线的斜率与在y轴上的截距，得出两直线不一定平行．

解答 解：对于①，直线l的方向向量是（1，tanα），它与向量$\overrightarrow a=（{cosα，sinα}）$共线，是真命题；
对于②，当$0＜α＜\frac{π}{4}$时，直线l的斜率是tanα，倾斜角是α，
直线y=x的斜率是1，倾斜角是$\frac{π}{4}$，∴两直线的夹角为$\frac{π}{4}-α$，是真命题；
对于③，直线l的斜率是k=tanα，在y轴上的截距是m，
直线xsinα-ycosα+n=0的斜率是k=tanα，且在y轴上的截距是$\frac{n}{cosα}$，
当m=$\frac{n}{cosα}$时，两直线重合，不平行，∴是假命题；
综上，是真命题的序号是①②．
故答案为：①②．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了直线的斜率与方向向量的应用问题，是基础题目．