Question

如图, 直线y=x与抛物线y=x²－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.

（1）求点Q的坐标；

（2）当P为抛物线上位于线段AB下方

（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.

   

Answer 1

 【解】(1) 解方程组

即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由k_AB==,直线AB的垂直平分线方程

y－1=(x－2).  令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．

  (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x²－4).∵点P到直线OQ的距离

d==,,∴S_ΔOPQ==.

  ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.

  ∵函数y=x²+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,  ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30．