Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，．
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆；
（2）设，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）在（2）的条件下，证明当n≥6时，．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=1，a₂=2，知，由此能求出a₄，a₅，a₆．
（2）由，知a_2n+1-a_2n-1=1．所以a_2n-1=n．再由，知a_2n=2ⁿ．所以，，由此能导出S_n．
（3）要证明当n≥6时，成立，只需证明当n≥6时，成立，用数学归纳法证明即可．
解答：解：（1）解：因为a₁=1，a₂=2，所以，
a₄=（2-|sinπ|）a₂+|sinπ|=2a₂=4，
同理a₅=3，a₆=8．（4分）
（2）解：因为，
即a_2n+1-a_2n-1=1．
所以数列{a_2n-1}是首项为1，公差为1的等差数列，因此a_2n-1=n．
又因为，
所以数列{a_2n}是首项为2，公比为2的等比数列，因此a_2n=2ⁿ．
所以，．（7分），①．②
由①-②，得．
所以．（10分）
（3）证明：要证明当n≥6时，成立，只需证明当n≥6时，成立．（11分）
证：①当n=6时，成立．
②假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即．
则当n=k+1时，．
由①②所述，当n≥6时，，即当n≥6时，．（15分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意不等式的性质和数学归纳法的合理运用．