题目内容
为了适应新课改的要求，某重点高中在高一500名新生中开设选修课．其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第n次选修人数为an个，且第n（n≥2）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第n-1次选修人数的一半还多15人．（1）当a1≠30时，写出数列{an}的一个递推公式，并证明数列{an-30}是一个等比数列；
（2）求出用a1和n表示的数列{an}的通项公式．如果选《趣味数学》的学生越来越多，求a1的取值范围．
【答案】分析：（1）由题意，
（其中n≥2），即
；由a1≠30，得a1-30≠0，知{an-30}是等比数列；
（2）由（1）得
，即
，可得an-an-1＞0，从而得a1的取值范围．
解答：解：（1）依题意，有
，（其中n≥2）；
∴
，
又a1≠30，即a1-30≠0，
故{an-30}是一个以（a1-30）为首项，
为公比的等比数列．
（2）由（1）得：
；
∴
，
又
．
∴a1的取值范围是：0≤a1＜30．
点评：本题考查了等比数列的定义和递推数列的综合应用，解题时要认真分析，以免出错．
（其中n≥2），即；由a1≠30，得a1-30≠0，知{an-30}是等比数列；（2）由（1）得
，即，可得an-an-1＞0，从而得a1的取值范围．解答：解：（1）依题意，有
，（其中n≥2）；∴
，又a1≠30，即a1-30≠0，
故{an-30}是一个以（a1-30）为首项，
为公比的等比数列．（2）由（1）得：
；∴
，又
．∴a1的取值范围是：0≤a1＜30．
点评：本题考查了等比数列的定义和递推数列的综合应用，解题时要认真分析，以免出错．
练习册系列答案
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名新生中开设选修课。其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第
次选修人数为
个，且第
）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第
次选修人数的一半还多
人。
时，写出数列
的一个递推公式，并证明数列
是一个等比数列；
和
名新生中开设选修课。其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第
次选修人数为
个，且第
）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第
次选修人数的一半还多
人。
时，写出数列
的一个递推公式，并证明数列
是一个等比数列；
和