题目内容
为了适应新课改的要求，某重点高中在高一500名新生中开设选修课．其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第n次选修人数为an个，且第n（n≥2）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第n-1次选修人数的一半还多15人．（1）当a1≠30时，写出数列{an}的一个递推公式，并证明数列{an-30}是一个等比数列；
（2）求出用a1和n表示的数列{an}的通项公式．如果选《趣味数学》的学生越来越多，求a1的取值范围．
分析：（1）由题意，an=
an-1+15（其中n≥2），即an-30=
(an-1-30)；由a1≠30，得a1-30≠0，知{an-30}是等比数列；
（2）由（1）得an-30=(a1-30)•(
)n-1，即an=30+(a1-30)•(
)n-1，可得an-an-1＞0，从而得a1的取值范围．
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（2）由（1）得an-30=(a1-30)•(
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解答：解：（1）依题意，有an=
an-1+15，（其中n≥2）；
∴an-30=
(an-1-30)，
又a1≠30，即a1-30≠0，
故{an-30}是一个以（a1-30）为首项，
为公比的等比数列．
（2）由（1）得：an-30=(a1-30)•(
)n-1；
∴an=30+(a1-30)•(
)n-1，
又an-an-1=(a1-30)[(
)n-1-(
)n-2]=(30-a1)•(
)n-1＞0．
∴a1的取值范围是：0≤a1＜30．
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| 2 |
∴an-30=
| 1 |
| 2 |
又a1≠30，即a1-30≠0，
故{an-30}是一个以（a1-30）为首项，
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（2）由（1）得：an-30=(a1-30)•(
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∴an=30+(a1-30)•(
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| 2 |
又an-an-1=(a1-30)[(
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∴a1的取值范围是：0≤a1＜30．
点评：本题考查了等比数列的定义和递推数列的综合应用，解题时要认真分析，以免出错．
练习册系列答案
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名新生中开设选修课。其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第
次选修人数为
个，且第
）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第
次选修人数的一半还多
人。
时，写出数列
的一个递推公式，并证明数列
是一个等比数列；
和
名新生中开设选修课。其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第
次选修人数为
个，且第
）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第
次选修人数的一半还多
人。
时，写出数列
的一个递推公式，并证明数列
是一个等比数列；
和