Question

如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AD=BC=2，对角线AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M为PD上的一点。

（Ⅰ）证明：PD⊥AC；

（Ⅱ）求二面角A―PB―D的大小；

（Ⅲ）若DM : MP=k，则当k为何值时，直线PD⊥平面ACM？

Answer 1

解：（I）∵PO⊥平面ABCD

∴DO为DP在平面ABCD内的射影

又AC⊥BD ∴AC⊥PD

（Ⅱ）方法1：过O作ON⊥PB于N，连结AN。

∵PO⊥平面ABCD，又平面ABCD，∴PO⊥AO 

由已知AO⊥BD，BD∩PO=O   ∴AO⊥平面PBD。

∴ON为AN在平面PBD内的射影，∴PB⊥AN.

∴∠ANO为二面角A―PB―D的平面角。

在Rt△AOD中，AO=1。

∵PO⊥平面ABCD，

∴OA为PA在底面ABCD内的射影

∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角，

∴∠PAO=60°   ∴Rt△POA中，PO=

∵四边形ABCD为等腰梯形

∴△ABD≌△BAC   ∴∠ABD=∠BAC  ∴OA=OB=1            

在Rt△POB中，PB=2

∴

在Rt△AON中，

   

∴二面角A―PB―D的大小为     

方法2：

如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，

y轴，z轴建立空间直角坐标系.

A（0，－1，0），B（1，0，0）

P（0，0，  O（0，0，0）

∵PO⊥平面ABCD

又AO平面ABCD，∴PO⊥AO 

由已知AO⊥BD，BD∩PO=O   ∴AO⊥平面PBD。    

∴为平面PBD的法向量。  ∴

设为平面PAB的法向量。

则

∴二面角A―PB―D的大小为

（Ⅲ）当DM：MP=1时，直线PD⊥平面ACM

 

∵PO⊥平面ABCD，

∴OA为PA在底面ABCD内的射影。

∴∠PAO为直线PA与底面ABCD所成的角，

∠PAO=60°

又∵在Rt△AOD中，∠DAO=60°

∴Rt△AOD≌Rt△AOP。∴AD=AP。

∵PM=MD，∴PD⊥AM 

由（Ⅰ）可知PD⊥AC

∵AM∩AC=A   ∴直线PD⊥平面ACM