题目内容

若存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立，则实数b的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：①当x=0时a取任意实数不等式恒成立；②当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，再转化为x+ $\text{[math]}$ ＜a＜x- $\text{[math]}$ 恒成立问题，下面利用函数g（x）=x+ $\text{[math]}$ 的最值从而得解．
解答：问题等价于：当0≤x≤1时，x|x-a|+b＜0恒成立，当x=0时a取任意实数不等式恒成立
也即x+ $\text{[math]}$ ＜a＜x- $\text{[math]}$ 恒成立
令g（x）=x+ $\text{[math]}$ 在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b（10分）
令h（x）=x- $\text{[math]}$ ，则h（x）在（0， $\text{[math]}$ ]上单调递减，[ $\text{[math]}$ ，+∞）单调递增
1°当b＜-1时h（x）=x- $\text{[math]}$ 在0＜x≤1上单调递减
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．
2°当-1≤b＜2 $\text{[math]}$ -3时，h（x）=x- $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ ，
∴a＜h_min（x）=2 $\text{[math]}$ ，∴1+b＜a＜2 $\text{[math]}$ ．
故可知 $\text{[math]}$ 时，存在实数a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查不等式的解法，考查运算求解能力，化归与转化思想，有一定的难度．