Question

设a∈R，函数f（x）=

x-a

lnx

，F（x）=

x

．
（Ⅰ）当a=0时，比较f（2e+1）与f（3e）的大小；
（Ⅱ）若存在实数a，使函数f（x）的图象总在函数F（x）的图象的上方，求a的取值集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，确定f（x）在（e，+∞）上是增函数，即可比较f（2e+1）与f（3e）的大小；
（Ⅱ）函数f（x）的图象总在函数F（x）的图象的上方等价于f（x）＞F（x）恒成立，即

x-a

lnx

＞

x

在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．分类讨论，利用分离参数法，即可求a的取值集合．

解答：解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=

x

lnx

，f′(x)=

lnx-1

ln2x

当x＞e时，f′（x）＞0，所以f（x）在（e，+∞）上是增函数
而3e=2e+e＞2e+1＞e，
∴f（3e）＞f（2e+1）
（Ⅱ）函数f（x）的图象总在函数F（x）的图象的上方等价于f（x）＞F（x）恒成立，
即

x-a

lnx

＞

x

在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．
①当0＜x＜1时，lnx＜0，则

x-a

lnx

＞

x

等价于a＞x-

x

lnx
令g（x）=x-

x

lnx，g′(x)=

2 x -2-lnx

2 x

，
再令h（x）=2

x

-2-lnx，h′（x）=

x -1

x

当0＜x＜1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上递减，
∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，
∴g′(x)=

2 x -2-lnx

2 x

＞0，所以g（x）在（0，1）上递增，g（x）＜g（1）=1，
∴a≥1
②当x＞1时，lnx＞0，则

x-a

lnx

＞

x

等价于a＜x-

x

lnx，等价于a＜g（x）
由①知，当x＞1时，h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上递增
∴当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，g′(x)=

2 x -2-lnx

2 x

＞0
∴g（x）在（1，+∞）上递增，∴g（x）＞g（1）=1
∴a≤1
由①及②得：a=1，
故所求a值的集合为{1}．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．