Question

已知函数f（x）=（1-2a）x³+（9a-4）x²+（5-12a）x+4a（a∈R）．
（1）当a=0时，求函数在区间[0，2]上的最大值；
（2）若函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为2，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）先求导数f′（x），在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可求得单调区间，由单调性可求最大值；
（2）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，建立等量关系，求出参数a的范围即可．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=x³-4x²+5x，f′（x）=3x²-8x+5=（3x-5）（x-1），
由f′（x）＞0，得0≤x＜1或

5

3

＜x≤2；由f′（x）＜0，得1＜x＜

5

3

，
∴f（x）在[0，1]，[

5

3

，2]上单调递增；在[1，

5

3

]上单调递减．
又f（1）=f（2）=2，
∴函数在[0，2]上的最大值为2．
（2）一方面由题意，得

f(0)≤2 f(1)≤2 f(2)≤2

，即0≤a≤

1

2

；
另一方面，当0≤a≤

1

2

时，f（x）=（-2x³+9x²-12x+4）a+x³-4x²+5x，
令g（a）=（-2x³+9x²-12x+4）a+x³-4x²+5x，则
g（a）≤max{g（0），g（

1

2

）}
=max{x³-4x²+5x，

1

2

（-2x³+9x²-12x+4）+x³-4x²+5x}
=max{x³-4x²+5x，

1

2

x²-x+2}，
f（x）=g（a）≤max{x³-4x²+5x，

1

2

x²-x+2}，
又0≤x≤2时，max{x³-4x²+5x}=2，max{

1

2

x²-x+2}=2，且f（2）=2，
所以当0≤a≤

1

2

时，f（x）在区间[0，2]上的最大值是2．
综上，所求a的取值范围是0≤a≤

1

2

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．