Question

【题目】选修4-4:极坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为 (α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为 (t为参数)．

(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；

(2)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－1， ，x＋y＝t.（2）－≤t≤

【解析】试题分析：（1）根据三角同角关系消参数得曲线M的普通方程，注意参数取值范围，根据将曲线N的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）直接联立直线方程与抛物线方程，利用判别式以及数形结合确定t的取值范围．

试题解析：(1)由x＝cosα＋sinα得x2＝(cosα＋sinα)2＝cos2α＋2sinαcosα＋sin2α，

所以曲线M可化为y＝x2－1，x∈[, ]，

由ρsin＝t得ρsinθ＋ρcosθ＝t，

所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲线N可化为x＋y＝t.

(2)若曲线M，N有公共点，则当直线N过点,时满足要求，此时t＝，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，

联立，得x2＋x－1－t＝0，

由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－.

综上可求得t的取值范围是－≤t≤.