Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为 -1．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+ =0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足 + =t （O为坐标原点）．当|AB|= 时，求实数t的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知a﹣c= ﹣1；又因为b= =1，所以a2=2，b2=1．
故椭圆C的方程为 +y2=1．
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），P（x，y），
由 得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．
△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2 ．
x1+x2= ，x1x2= ．
又由|AB|= ，得 |x1﹣x2|= ，即 =
可得
又由 + =t ，得（x1+x2 ， y1+y2）=t（x，y），则 = ， =
故 ，即16k2=t2（1+2k2）．
得，t2= ，即t=±
【解析】（Ⅰ）利用椭圆C： =1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为 -1，可求a﹣c的值，利用直线与圆相切，可得b的值，由此可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|= ， + =t ，即可求得结论．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．