Question

【题目】已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知 ，所以 ，即a2=4b2 ， ∴a=2b
又因为 ，∴a=2，故椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．
由 得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①
由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0，∴
又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是： ．
（Ⅲ）设点N（x1 ， y1），E（x2 ， y2），则M（x1 ， ﹣y1）．
直线ME的方程为 ．令y=0，得 ．
将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理，得 ．②
由①得 ， 代入②整理，得x=1．
所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）
【解析】（Ⅰ）由题意知 ，所以a2=4b2 ， 由此可知椭圆C的方程为 ．（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．由题设得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．由此入手可知直线PN的斜率的取值范围是： ．（Ⅲ）设点N（x1 ， y1），E（x2 ， y2），则M（x1 ， ﹣y1）．直线ME的方程为 ．令y=0，得 ．由此入手可知直线ME与x轴相交于定点（1，0）．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线的斜率的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα．