Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，底面，是上的点．

（1）求证：平面；

（2）设，若是的中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由平面平面，得出，再根据勾股定理，证得，再利用线面垂直的判定定理，即可证明平面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，设为平面的法向量，由，求得平面的一个法向量，再利用向量的运算，即可得二面角为锐角余弦值．

试题解析：（1）证明：∵平面平面，

∴，

由题意知，

∴，∴，

∴，又，

∴平面

（2）解：以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，设，

则，

设为平面的法向量，则，

即，取，则．

设直线与平面所成角为，

依题意，，

则或（舍），

由（1）知，

∴平面，∴为平面的法向量，

当时，，

易得二面角为锐角，所以其余弦值为