Question

已知函数满足，，；且使成立的实数只有一个。
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）若数列满足，，，，证明数列 是等比数列，并求出的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：，

Answer 1

（I）
（II）见解析通项公式为
（Ⅲ）见解析

（Ⅰ）由，，，得.………1分
由，得.……………………………………………………………2分
由只有一解，即，也就是只有一解，
∴
∴.…………………………………………………………………………………3分
∴.故.……………………………………………………………4分
（Ⅱ）∵，，∴…………………………  5分
∴……………………………………………………………6分

∴是以=为首项，为公比的等比数列
∴有             ………………………8分
∵，∴
∴是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为.……………10分
（Ⅲ）∵，
∴…………………………12分
.……………………………15分