题目内容
已知数列{an}的各项均为正数，数列{bn}，{cn}满足bn=
，cn=anan+12．
（1）若数列{an}为等比数列，求证：数列{cn}为等比数列；
（2）若数列{cn}为等比数列，且bn+1≥bn，求证：数列{an}为等比数列．
| an+2 |
| an |
（1）若数列{an}为等比数列，求证：数列{cn}为等比数列；
（2）若数列{cn}为等比数列，且bn+1≥bn，求证：数列{an}为等比数列．
考点：等比关系的确定,等差关系的确定
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由数列{an}为等比数列可得
=q，结合cn=anan+12可得：
=
=q3为常数，即数列{cn}为等比数列；
（2）由数列{cn}是等比数列可得
=q，即
=
=
=q，结合bn=
可得bn+22=bn+1•bn由bn+1≥bn，可得：bn+2=bn+1=bn，即
=
，即an+3=an+1•
，进而an+12=an•an+2，即数列{an}为等比数列．
| an+1 |
| an |
| cn+1 |
| cn |
an+1•
| ||
an
|
（2）由数列{cn}是等比数列可得
| cn+1 |
| cn |
| cn+1 |
| cn |
an+1•
| ||
an
|
| ||
an
|
| an+2 |
| an |
| an+3 |
| an+1 |
| an+2 |
| an |
| an+2 |
| an |
解答：
证明：（1）因为数列{an}为等比数列，所以
=q（q为常数），
又因为cn=anan+12．
所以
=
=q3为常数，所以数列{cn}为等比数列；
（2）因为数列{cn}是等比数列，所以
=q（q为常数），
所以
=
=
=q（q为常数），
则
=
，
所以
=
，
∵bn=
，
故bn+22=bn+1•bn．
因为bn+1≥bn，所以bn+2≥bn+1，则bn+22≥bn+12≥bn+1•bn．
所以bn+2=bn+1=bn．
∴
=
，即an+3=an+1•
．
因为数列{cn}是等比数列，所以
=
，即
=
，
把an+3=an+1•
代入化简得an+12=an•an+2，
所以数列{an}为等比数列．
| an+1 |
| an |
又因为cn=anan+12．
所以
| cn+1 |
| cn |
an+1•
| ||
an
|
（2）因为数列{cn}是等比数列，所以
| cn+1 |
| cn |
所以
| cn+1 |
| cn |
an+1•
| ||
an
|
| ||
an
|
则
| ||
an
|
| ||
an+2
|
所以
| ||
|
| an+2•an+3 | ||
an
|
∵bn=
| an+2 |
| an |
故bn+22=bn+1•bn．
因为bn+1≥bn，所以bn+2≥bn+1，则bn+22≥bn+12≥bn+1•bn．
所以bn+2=bn+1=bn．
∴
| an+3 |
| an+1 |
| an+2 |
| an |
| an+2 |
| an |
因为数列{cn}是等比数列，所以
| cn+1 |
| cn |
| cn+2 |
| cn+1 |
| ||
an
|
| ||
an+1
|
把an+3=an+1•
| an+2 |
| an |
所以数列{an}为等比数列．
点评：本题考查的知识点是等比数列关系的确定，转化比较困难，运算量比较大，属于中档题．
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| ||
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| ||
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| ||||||
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| ||||||
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| ||||||
D、y=
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