Question

6．已知函数f（x）=log_a（1-$\frac{a}{x}$），其中0＜a＜1．
（1）证明：f（x）是（a，+∞）上的减函数；
（2）若f（x）=1，求x；
（3）若f（x）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用不等式性质得出1$-\frac{a}{{x}_{1}}$$＜1-\frac{a}{{x}_{2}}$．利用对数函数的单调性，结合复合函数log_a（1-$\frac{a}{{x}_{1}}$）＞log_a（1-$\frac{a}{{x}_{2}}$）．即f（x₁）＞f（x₂）．判断即可．
（2）根据对数运算得出log_a（1-$\frac{a}{x}$）=1．即1-$\frac{a}{x}$=a．求解即可得出x的值．
（3）利用对数函数的单调性得出log_a（1-$\frac{a}{x}$）＞1，其中0＜a＜1.0＜1-$\frac{a}{x}$＜1，其中0＜a＜1，求解不等式得出x的范围．

解答 解：函数f（x）=log_a（1-$\frac{a}{x}$），其中0＜a＜1．
（1）设x₁，x₂∈（a，+∞）上，且x₁＜x₂．
∴1＞$\frac{a}{{x}_{1}}$$＞\frac{a}{{x}_{2}}$.1$-\frac{a}{{x}_{1}}$$＜1-\frac{a}{{x}_{2}}$．
∵0＜a＜1．
∴log_a（1-$\frac{a}{{x}_{1}}$）＞log_a（1-$\frac{a}{{x}_{2}}$）
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）是（a，+∞）上的减函数；
（2）∵f（x）=1．
∴log_a（1-$\frac{a}{x}$）=1．
即1-$\frac{a}{x}$=a．
x=$\frac{a}{1-a}$
（3）∵f（x）＞1，
∴log_a（1-$\frac{a}{x}$）＞1，其中0＜a＜1．
0＜1-$\frac{a}{x}$＜1，其中0＜a＜1．
求解得出：x＞a．

点评 本题综合考察了对数函数的性质运算，结合函数的单调性，不等式求解，属于综合题目，注意参数a的值的限制．