Question

15．已知：a_n=$\sqrt{1•2}$+$\sqrt{2•3}$+…+$\sqrt{n•（n+1）}$，求证：$\frac{n（n+1）}{2}$＜a_n＜$\frac{（n+1）^{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由不等式k＜$\sqrt{k（k+1）}$＜$\frac{k+（k+1）}{2}$=$\frac{2k+1}{2}$对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，即可证明结论．

解答 证：由不等式k＜$\sqrt{k（k+1）}$＜$\frac{k+（k+1）}{2}$=$\frac{2k+1}{2}$对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，
得到1+2+3+…+n＜a_n＜$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{2}$+…+$\frac{2n+1}{2}$，
∴$\frac{n（n+1）}{2}$＜a_n＜$\frac{（n+1）^{2}}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查放缩法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．正确放缩是关键．