Question

已知椭圆

x2

16

+

y2

9

=1与x轴交于A、B两点，焦点为F₁、F₂．
（1）求以F₁、F₂为顶点，以A、B为焦点的双曲线E的方程；
（2）M为双曲线E上一点，y轴上一点P (0，

16

3

)，求|MP|取最小值时M点的坐标．

Answer 1

分析：（1）通过双曲线方程求出焦点坐标与顶点，即可求出以F₁、F₂为顶点，以A、B为焦点的双曲线E的方程；
（2）设出M坐标，直接利用两点间的距离公式求出|MP|的表达式，代入双曲线方程，直接利用二次函数求出表达式取得最小值时M点的坐标．

解答：解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
则a²=7   b²=16∴b²=9…（3分）
所求双曲线方程：

x2

7

-

y2

9

=1…（6分）
（2）设M（x，y），
|MP|2=x2+(y-

16

3

)2=

7y2

9

+7+(y-

16

3

)2=

16

9

(y-3)2+

175

9

(y∈R)…（9分）
当y=3时，|MP|²最小，|MP|最小．
代入方程得，M(±

14

，3)…（12分）

点评：本题是中档题，考查双曲线方程的应用，双曲线才的求法，二次函数最值的求法，考查计算能力，转化思想的应用．