Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n-n²，求数列 {b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设{a_n}的前n项和为S_n，证明：不等式T_n+1≤4T_n对任意n∈N^*均成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N*
又a₁-1=1≠0
∴…（3分）
∴数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列
∴a_n-n=4^n-1即a_n=4^n-1+n（n∈N*）…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=n（a_n-n）=n•4^n-1…（5分）
∴S_n=1•4⁰+2•4¹+3•4²+…n•4^n-1…①
4S_n=1•4¹+2•4²+3•4³+…（n-1）•4^n-1+n•4ⁿ…②…（6分）
由①-②得：-3S_n=1+4+4²+…4^n-1-n•4ⁿ…（7分）
=…（8分）
∴=…（9分）

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）a_n=4^n-1+n
∴数列{a_n}的前n项和=
=…（11分）
∴对于任意的n∈N*，
…（12分）
==…（13分）
即T_n+1≤4T_n对于?n∈N*成立…（14分）
分析：（Ⅰ）把题设整理成a_n+1-（n+1）=4（a_n-n）的样式进而可知 为常数，判定数列{a_n-n}是等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的首项和公比可求得{a_n-n}的通项公式，进而根据题设求得数列{b_n}的通项公式，进而根据错位相减法求得数列{b_n}的前n项和S_n．
（Ⅲ）由（Ⅰ）a_n=4^n-1+n，从而可得数列{a_n}的前n项和
=，再利用作差法化简T_n+1-4T_n即可．
点评：本题主要考查了等比数列的判定和数列的求和问题．当数列是由等比和等差数列构成时，常可用错位相减法求的数列的前n项和．应注意掌握作差法在证明不等式中的运用．