Question

9．数列{a_n}满足：${a_1}=\frac{1}{3}$，且$\frac{n}{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}+n-1}}{{{a_{n-1}}}}（n∈{N^*}，n≥2）$，则数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 由$\frac{n}{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}+n-1}}{{{a_{n-1}}}}（n∈{N^*}，n≥2）$，化为$\frac{n}{{a}_{n}}$-$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{n}{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}+n-1}}{{{a_{n-1}}}}（n∈{N^*}，n≥2）$，∴$\frac{n}{{a}_{n}}$-$\frac{n-1}{{a}_{n-1}}$=2，
则数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}为等差数列，公差为2，首项为3．
∴$\frac{n}{{a}_{n}}$=3+2（n-1）=2n+1．
∴a_n=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．