题目内容
20．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=$\frac{5}{2}，b=\sqrt{6}，4a-3\sqrt{6}$cosA=0．（1）求a的值；
（2）若B=λA，求λ的值．
分析 （1）由余弦定理得12a2+80a-347=0，由此能求出a．
（2）求出cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，从而sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而cos2A=cos2A-sin2A=$\frac{1}{3}$，再由余弦定理得cosB=$\frac{1}{3}$，由此得到cos2A=cosB，从而能求出λ．
解答 解：（1）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=$\frac{5}{2}，b=\sqrt{6}，4a-3\sqrt{6}$cosA=0．
∴4a=3$\sqrt{6}$×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∵c=$\frac{5}{3}$，b=$\sqrt{6}$，∴12a2+80a-347=0，
解得a=$\frac{3}{2}$或a=-$\frac{49}{6}$（舍）．
故a=$\frac{3}{2}$．
（2）由（1）可知cosA=$\frac{4}{3\sqrt{6}}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos2A=cos2A-sin2A=$\frac{1}{3}$，
∵$a=\frac{3}{2}$，c=$\frac{5}{2}$，b=$\sqrt{6}$，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{3}$，
∴cos2A=cosB，
∵△ABC中，c＞b＞a．∴B=2A，
∴λ=2．
点评 本题考查余弦定理、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
智慧小复习系列答案
某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取100人了解情况，已知70～80分数段抽取了30人，则全体高三年级学生的平均分数为82（以各组区间的中点值代表改组的取值）
函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，如果x1，x2∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）且x1，x2是方程f（x）=m的两个实数根，其中m∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），则f（x1+x2）=（ ）| A． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B． | -$\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| A． | （$\sqrt{10}$，0） | B． | （0，10） | C． | （10，+∞） | D． | （1，10） |
| x | -$\frac{π}{6}$ | $\frac{π}{3}$ | $\frac{5π}{6}$ | $\frac{4π}{3}$ | $\frac{11π}{6}$ | $\frac{7π}{3}$ | $\frac{17π}{6}$ |
| f（x） | -1 | 1 | 3 | 1 | -1 | 1 | 3 |
（2 ）根据（1）的结果若函数y=f（kx）（k＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{3}$，当$x∈[0，\frac{π}{3}]$时，方程f（kx）=m恰好有两个不同的解，求实数m的取值范围．
| A． | $\frac{1}{2}$e2 | B． | $\frac{{e}^{2}+1}{2}$ | C． | $\frac{{e}^{2}-1}{2}$ | D． | $\frac{{e}^{2}-3}{2}$ |