Question

如图：已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E为棱BC的中点，PD=1．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求异面直线PB和DE所成角的大小．（结果用反三角表示）

Answer 1

分析：（1）直接利用棱锥的体积公式求解；
（2）取PC中点F，连结EF，由三角形的中位线定理得到PB∥EF，从而找到异面直线PB和DE所成角，然后在△DEF中利用余弦定理求解．

解答：解：（1）∵ABCD是边长为2的正方形，
∴S_{四边形ABCD}=4．
又PD⊥底面ABCD，且PD=1．
∴VP-ABCD=

1

3

S四边形ABCD•PD=

1

3

×4×1=

4

3

；
（2）如图，
取PC中点F，连结EF，∵E是BC中点，∴PB∥EF，EF=

1

2

PB．
∴∠DEF为异面直线PB和DE所成的角．
由底面为边长为2的正方形，可得DB=2

2

，由PD=1，∴PB=3，
则EF=

3

2

．
由DC=2，CE=1，得DE=

5

．
由PD=1，DC=2，得PC=

5

，∴DF=

5

2

．
在△DEF中，cos∠DEF

DE2+EF2-DF2

2DE•EF

=

( 5 )2+( 3 2 )2-( 5 2 )2

2× 5 × 3 2

=

2 5

5

．
∴异面直线PB和DE所成角的大小为arccos

2 5

5

．

点评：本题考查了棱锥的体积，考查了异面直线所成的角及其求法，求解异面直线所成的角，往往把要求的角转化为一个三角形的内角，借助于余弦定理求解，是中档题．