Question

已知f（x）=3^x-3^|x|，若3^tf（2t）-mf（t）≥0对于t∈[-2，-1]恒成立，则m∈

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由已知得f（x）=3^x-3^|x|在（-∞，0）上单调递增，f（t）=3^t-3^-t＜0，m≤-3^2t-1，令g（t）=-3^2t-1，则g（t）在[-2，-1]上递减，由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：∵y=3^x在（-∞，0）上单调递增，y=3^|x|在（-∞，0）上单调递减，
∴f（x）=3^x-3^|x|在（-∞，0）上单调递增，
∵t∈[-2，-1]，∴f（t）=3^t-3^-t＜0，
∴3^tf（2t）-mf（t）≥0化为：
3^t（3^2t-3^-2t）+m（3^t-3^-t）≥0，
即3^t（3^t+3^-t）+m≤0，即m≤-3^2t-1，
令g（t）=-3^2t-1，则g（t）在[-2，-1]上递减，
∴g（x）_mim=g（-1）=-3^-2-1=-

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，
∴m≤g（x）_min=-

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9

∴所求实数m的取值范围是（-∞，-

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]．
故答案为：（-∞，-

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9

]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．