Question

8．曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$与直线y=k（x+2）+5有两个交点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [-1，-$\frac{3}{4}$）
• B． （-∞，-1]
• C． （-$\frac{3}{4}$，0]
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．

解答 解：由y=k（x+2）+5知直线l过定点（-2，5），将y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$，移项两边平方得x²+（y-1）²=4（y≥1），
则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．
当直线l过点（2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点
此时k=$\frac{5-1}{-2-2}$=-1，
当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心（0，1）到直线kx-y+5+2k=0的距离d=$\frac{|5+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得k=-$\frac{3}{4}$，
要使曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$与直线y=k（x+2）+5有两个交点，
则直线l夹在两条直线之间，
因此-1≤k＜-$\frac{3}{4}$，
故选：A．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，考查学生的计算能力，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．