Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0）点P(1，

2

2

)在这个椭圆上．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过点F₁的直线l与该椭圆交于M、N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）直接根据点P(1，

2

2

)在这个椭圆上得到2a=|PF1|+|PF2|=2

2

求出a，再结合c=1即可求出椭圆的标准方程；
（2）当直线l的斜率存在时，设直线L的方程为y=k（x+1），把直线方程与椭圆方程联立求出关于M、N两点坐标的方程，根据中点坐标公式即可求出线段MN的中点P的轨迹方程．注意斜率不存在时也要讨论．

解答：解：（1）由已知得，2a=|PF1|+|PF2|=2

2

，∴a=

2

．∵c=1，∴b=1．
∴所求椭圆的方程为

x2

2

+ y2=1．…（4分）
（2）由（1）得F₁（-1，0）．
当直线l的斜率存在时，设直线L的方程为y=k（x+1），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y）．
联立

y=k(x+1) x2 2 +y2=1.

消元，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．…（8分）
∴x1+x2=

-4k2

1+2k2

．从而y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=

2k

1+2k2

．
∴

x= -2k2 1+2k2 y= k 1+2k2 .

当k=0时，中点P就是原点．k≠0时，x≠0且y≠0．
则k=-

x

2y

，代入y=

k

1+2k2

，得y(x2+2y2+x)=0．
因为y≠0，所以x²+2y²+x=0．…（10分）
当直线l的斜率不存在时，线段MN的中点为F₁．
所以，所求轨迹方程为x²+2y²+x=0．…（12分）

点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．熟练掌握椭圆的几何性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．