Question

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（ ）
A．
B．4
C．2
D．

Answer 1

【答案】分析：由题意可得四边形ABCD面积等于，当AC和BD中，有一条直线的斜率不存在时，求得四边形ABCD面积等于
2．当AC和BD的斜率都存在时，设AC的方程为y=kx，BD方程为y=-x．y=kx代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及弦长公式求得AC的值，同理求得BD的值，化简  为，再利用基本不等式
求得它的最小值，综合可得结论．
解答：解：由题意可得四边形ABCD的对角线互相垂直，且四个顶点在椭圆上，且a=，b=1．
四边形ABCD面积等于．
当AC和BD中，有一条直线的斜率不存在时，AC和BD的长度分别为2a和 2b，
四边形ABCD面积等于=2ab=2×1=2．
当AC和BD的斜率都存在时，设AC的方程为y=kx，BD方程为y=-x．
把y=kx代入椭圆的方程化简为（2k²+1）x²-2=0，∴x_A+x_C=0，．
∴AC=•|x_A-x_C|=•=2 ．
同理求得 BD=2，
∴=4 ===
=≥=4×=，当且仅当时，取等号．
综上可得，四边形ABCD面积的最小值等于．
故选：A．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，
属于中档题．