Question

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：

x2

2

+y2=1交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为______．

Answer 1

由题意可得四边形ABCD的对角线互相垂直，且四个顶点在椭圆

x2

2

+y2=1上．
可设A（

2

cosα，sinα ），B（

2

cos[α+90°]，sin[α+90°]），0°≤α≤180°．
则四边形ABCD面积等于4×S_△AOB=4×

1

2

|OA|?|OB|=2

2cos2α+sin2α

×

2cos2(α+90°)+sin2(α+90°)

=2

(1+cos2α)(1+sin2α)

=2

2+ 1 4 sin2 2α

≥2

2

当且仅当sin2α=0，即 α=0°或180°时，等号成立．
故四边形ABCD面积的最小值等于2

2

．
故答案为：2

2