Question

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：

x2

2

+y2=1交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（　　）

A． 8 3

B．4 2

C．2 2

D． 4 3

Answer 1

由题意可得四边形ABCD的对角线互相垂直，且四个顶点在椭圆

x2

2

+y2=1上，且a=

2

，b=1．
四边形ABCD面积等于

1

2

•AC•BD．
当AC和BD中，有一条直线的斜率不存在时，AC和BD的长度分别为2a和 2b，
四边形ABCD面积等于

1

2

•AC•BD=2ab=2

2

×1=2

2

．
当AC和BD的斜率都存在时，设AC的方程为y=kx，BD方程为y=-

1

k

x．
把y=kx代入椭圆的方程化简为（2k²+1）x²-2=0，∴x_A+x_C=0，xA• xC=- 

2

2k2+1

．
∴AC=

1+k2

•|x_A-x_C|=

1+k2

•

0+ 8 2k2+1

=2

2(1+k2) 2k2+1

．
同理求得 BD=2

2(1+k2) k2+2

，
∴

1

2

•AC•BD=4 

k4+2k2+1 2k4+5k2+2

=

4

2k4+5k2+2 k4+2k2+1

=

4

2k2+5+ 2 k2 k2+2+ 1 k2

=

4

2( k2+ 2 k2 +2)+1 k2+ 1 k2 +2

=

4

2+   1 k2+ 1 k2 +2

≥

4

2+ 1 2+2

=4×

2

3

=

8

3

，当且仅当k2=

1

k2

时，取等号．
综上可得，四边形ABCD面积的最小值等于

8

3

．
故选：A．