在直角坐标系中.以原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为ρcos=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=5+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$．(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程,(2)曲线C交x轴于A.B两点.且� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=5+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）曲线C交x轴于A、B两点，且点A的横坐标小于点B的横坐标，P为直线l上的动点，求△PAB周长的最小值．

分析（1）由直线l的极坐标方程，得ρcosθ-ρsinθ=1，由此能求出直线l的直角坐标方程，由曲线C的参数方程能求出C的普通方程．
（2）曲线C表示圆心（5，0），半径r=1的圆，令y=0，得A（4，0），B（6，0），作A关于直线l的对称点A₁得A₁（1，3），当P为A₁B与l的交点时，△PAB的周长最小，由此能求出△PAB周长的最小值．

解答解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由直线l的极坐标方程，得$ρcosθsin\frac{π}{4}-ρsinθcos\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（2分）
即ρcosθ-ρsinθ=1，
∴直线l的直角坐标方程为x-y=1，即x-y-1=0，…（3分）
∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=5+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴由曲线C的参数方程得C的普通方程为：（x-5）²+y²=1．…（5分）
（2）由（1）知曲线C表示圆心（5，0），半径r=1的圆，
令y=0，得x=4或x=6．
∴A点坐标为（4，0），B点坐标为（6，0）． …（7分）
作A关于直线l的对称点A₁得A₁（1，3）．…（8分）
由题设知当P为A₁B与l的交点时，△PAB的周长最小，
∴△PAB周长的最小值为：|AP|+|PB|+|AB|=|A₁B|+|AB|=$\sqrt{34}+2$．…（10分）