Question

【题目】已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且当时，，过点作曲线的两条切线,若这两条切线互相垂直,则该函数的最小值为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

当时，，可得函数在为增函数，结合函数的对称性可得函数的最小值为,进而分析可得点作曲线的两条切线的斜率，设右侧的切点为，求出函数的导数，由导数的几何意义可得，即，结合两点间连线的斜率公式可得，即，联立两式求出的值，代入函数的解析式可得结果.

根据题意，分析可得当时，，

则函数在为增函数，

又由函数的图象关于直线对称，函数在为减函数，

所以函数的最小值为，

点作曲线的两条切线，

则两条切线的关于直线对称，即两条切线的斜率互为相反数，

若两条切线互相垂直，切线的斜率，

设右侧的切点为，

因为，所以导数，

则有，即，①

又由切线过点，可得，

即，解可得，②

联立①②可得，

则函数的最小值为，故选B.