Question

【题目】已知函数（）的单调递减区间为.

（I）求a的值；

（II）证明：当时，；

（III）若存在，使得当时，恒有，求实数k的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）.

【解析】

（I）由题意知为方程的一个根，求出后注意检验一下.

（II）构造，通过研究其单调性，证明即可.

（III）根据（II），分、、三种情况讨论，前两种情况容易证明不存在满足条件的值，当时，令，通过研究的导数，进一步研究其单调性，找到值并证明即可.

解：（I）的定义域为.

.

由题意知为方程的一个根.

所以，解得.

当时，，得

的单调递减区间为，符合题意.

（II）设，

则.

当时，，所以在上单调递增.

所以当时，，即.

（III）当时，由（II）知不存在符合条件的m.

当时，对于，，故不存在符合条件的m.

当时，令，

则.

令，得，.

因为当时，，所以在上单调递减，，

即，此时取即可.

综上所述，k的取值范围是.