题目内容
【题目】．对于n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵：
，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，aij＝1；当i不能整除j时，aij＝0．设
．
（Ⅰ）当n＝6时，试写出数阵A66并计算
；
（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：
；
（Ⅲ）若
，
，求证：g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．
【答案】（Ⅰ）
， 
．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）依题意可得，， 
．（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，可得
是数阵Ann所有数的和．而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，
．得数阵Ann的第i行中有
个1，其余是0，即第i行的和为．从而得到结果．（Ⅲ）由[x]的定义可知，
，得
．进而
．再考查定积分
，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．
（Ⅰ）依题意可得，． ．
（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此是数阵Ann所有数的和．
而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．
对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，．
因此数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．
所以
．
（Ⅲ）证明：由[x]的定义可知，，
所以．所以．
考查定积分，将区间[1，n]分成n﹣1等分，则的不足近似值为
，的过剩近似值为
． 所以
．
所以
g（n）
．
所以g（n）﹣1
g（n）+1．
所以g（n）﹣1＜f（n）＜g（n）+1．
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【题目】为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为
药，
药）的疗效，某机构随机地选取
位患者服用药，位患者服用药，观察这
位患者的睡眠改善情况.这些患者服用一段时间后，根据患者的日平均增加睡眠时间（单位：
），以整数部分当茎，小数部分当叶，绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种药对增加睡眠时间更有效？并说明理由；
（2）求这名患者日平均增加睡眠时间的中位数
，并将日平均增加睡眠时间超过和不超过的患者人数填入下面的列联表：
超过 | 不超过 | |
服用 | ||
服用 |
（3）根据（2）中的列联表，能否有
的把握认为
两种药的疗效有差异？
附： 
.
| 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 6.635 | 7.879 | 10.828 |
