Question

【题目】已知函数 （，为自然对数的底数）.

（1）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；

（2）当时，求函数的最小值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】试题分析：

由题得,，则：

（1）由题意可得，即，；

（2）原问题等价于时，求函数的最小值.

结合导函数的解析式可知函数在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减.据此分类讨论可得：当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.

试题解析：

由题得,

（1）由曲线在点处的切线垂直于轴，得，

即，

解得

（2）设，

则只需求当时，函数的最小值.

令，解得或，

而，即.

从而函数在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减.

当，即时，函数在区间上为减函数，；

当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数的极小值即为其在区间上的最小值，.

综上可知，当时，函数的最小值为；

当时，函数的最小值为.