Question

【题目】如图，是圆内一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点.

（Ⅰ）当点在圆上运动时，点的轨迹是什么曲线？并求出其轨迹方程；

（Ⅱ）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：由题意可得，根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，求得的值，代入即可求得其轨迹方程；

设的方程为，联立方程得，消去得，，根据韦达定理及换元后根据函数单调性即可求得面积的最大值。

解析：（Ⅰ）由题意得

根据椭圆的定义得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，

轨迹方程为，

（Ⅱ）由题意知（为点到直线的距离），

设的方程为，联立方程得，消去得

设，则，

则，

又，

令，由，得，

，，易证在递增，，

面积的最大值.