Question

表面积为4π的球O与平面角为钝角的二面角的两个半平面相切于A、B两点，三角形OAB的面积S=

2

5

，则球心到二面角的棱的距离为

5

2

．

Answer 1

分析：根据表面积为4π的球，可求半径为1，根据截面图，可知PA和PB是球的大圆切线，OP是球心至棱的距离，从而可求．

解答：解：由题意，S=4πR²=4π，∴R=1，
根据截面图，PA和PB是球的大圆切线，OP是球心至棱的距离，
∵S_△OAB=

1

2

R2sin∠AOB=

1

2

sin∠AOB=

2

5

，
∴sin∠AOB=

4

5

，
∴cos∠AOB=

3

5

，
∴cos

∠AOB

2

=

2 5

5

，
∵cos

∠AOB

2

=

OA

OP

，
∴OP=

5

2

．

点评：本题以二面角为载体，考查球的表面积，考查球的截面，考查三角函数，属于中档题．