Question

设数列的前项和为，且满足.
（Ⅰ）求证：数列为等比数列；
（Ⅱ）求通项公式；
（Ⅲ）若数列是首项为1，公差为2的等差数列,求数列的前项和为.

Answer 1

（Ⅰ）见解析   （Ⅱ）. （Ⅲ）.

(I)根据,可得,
从而可证明：为等比数列.
(II)在（I）的基础上先求出的通项公式，然后再根据S_n求出a_n.
(III)先求出,
再根据a_n的通项公式求出b_n,由于,所以易采用错位相减的方法求和
证明：（Ⅰ）因为 ,所以 . 又,
所以 是首项为，公比为的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.当时，.
当时， .
故.
（Ⅲ）因为 数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以.所以 .
所以 .
所以 .
所以
.
所以 .