题目内容

已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿对角形BD将△BDC折起得到三棱锥C-ABD，且三棱锥的体积为 $数学公式$ ，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为________．

$\text{[math]}$
分析：求出棱锥的高等于直角三角形BCD的斜边BD上的高，可得平面BCD⊥平面ABD，作CE⊥BD，AF⊥BD，利用两个向量的数量积的定义求出 $\text{[math]}$ 的值，再根据又 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）求出 $\text{[math]}$ 的值，从而得到
cos＜ $\text{[math]}$ ＞，即得BC与AD所成角的余弦值．
解答：设三棱锥C-ABD的高为h，则 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ×2×1）h= $\text{[math]}$ ，∴h= $\text{[math]}$ ，
故 h是直角三角形BCD的斜边BD上的高，故平面BCD⊥平面ABD．作CE⊥BD，AF⊥BD，则
CE⊥面ABD，AF⊥面 BCD． $\text{[math]}$ =1×1cos＜ $\text{[math]}$ ＞=cos＜ $\text{[math]}$ ＞．
又 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
=0+0+ $\text{[math]}$ +0=BC²-CE²=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴cos＜ $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ ，故异面直线BC与AD所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查异面直线所成的角的定义和求法，体现了转化的数学的思想，求出cos＜ $\text{[math]}$ ＞是解题的关键．