Question

已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿对角线BD将△BDC折起得到三棱锥E-ABD，且三棱锥的体积为

5

15

，则二面角E-BD-A的正弦值为

1

2

．

Answer 1

分析：利用三棱锥的体积求出E到平面ABD的距离，过E作EF⊥BD，连接OF，则∠EFO为二面角E-BD-A的平面角，从而可求二面角E-BD-A的正弦值．

解答：解：设E到平面ABD的距离为EO=h，则由题意，
∵三棱锥的体积为

5

15

，∴

5

15

=

1

3

×

1

2

×2×1×h
∴h=

5

5

，
过E作EF⊥BD，连接OF，则OF⊥BD，∴∠EFO为二面角E-BD-A的平面角
在Rt△EBD中，EF=

EB×ED

BD

=

2

5

∴sin∠EFO=

EO

EF

=

5 5

2 5

=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题考查面面角，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．