Question

4．证明：$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$…$\frac{23}{24}$＜$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 先证$\frac{n-1}{n}$＜$\frac{n}{n+1}$，再分别令n=2，4，6，…，24，将这12个不等式相乘，即可证明原命题．

解答 证明：因为$\frac{1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$（n≥2）恒成立，
所以，1-$\frac{1}{n}$＜1-$\frac{1}{n+1}$，即$\frac{n-1}{n}$＜$\frac{n}{n+1}$，
所以，分别令n=2，4，6，…，24得，
$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$＜$\frac{4}{5}$，$\frac{5}{6}$＜$\frac{6}{7}$，…，$\frac{23}{24}$＜$\frac{24}{25}$，
将这12个不等式同向相乘得，
$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$…$\frac{23}{24}$＜$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$…$\frac{24}{25}$，
两边再同时乘以：$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$…$\frac{23}{24}$（即左式）得，
（$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$…$\frac{23}{24}$）²＜（$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$…$\frac{24}{25}$）•（$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$…$\frac{23}{24}$）=$\frac{1}{25}$，
两边开方得，$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$…$\frac{23}{24}$＜$\frac{1}{5}$，即证．

点评 本题主要考查了运用综合法证明不等式，其中$\frac{n-1}{n}$＜$\frac{n}{n+1}$是证明的关键，属于中档题．