Question

16．已知函数f（x）=2^x，x₁，x₂是任意实数，且x₁≠x₂，证明$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]＞f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）

Answer 1

分析 根据基本不等式得$\frac{1}{2}$[${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{{x}_{2}}$]≥$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，这是证明本命题的关键．

解答 证明：因为函数f（x）=2^x，x₁，x₂是任意实数，所以，
左边=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}$[${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{{x}_{2}}$]，
右边=f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，
根据基本不等式，
$\frac{1}{2}$[${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{{x}_{2}}$]≥$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，
由于x₁≠x₂，所以，$\frac{1}{2}$[${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{{x}_{2}}$]＞${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$，
因此，左边＞右边，
即：$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]＞f（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查了运用基本等式证明不等式问题，涉及到函数值的计算，和取等条件的分析，属于中档题．