Question

12．若数列{a_n}的首项a₁=2，a_n+1=（2+$\frac{2}{n}$）a_n，则a_n=n•2ⁿ．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，然后利用累积法求解数列的通项公式．

解答 解：由a_n+1=（2+$\frac{2}{n}$）a_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2（n+1）}{n}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{2×2}{1}$，
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2×3}{2}$，
$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{2×4}{3}$，
$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}=\frac{2×5}{4}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2n}{n-1}$（n≥2）．
累积得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}={n•2}^{n-1}$，
∵a₁=2，
∴${a}_{n}=n•{2}^{n}$（n≥2）．
验证n=1时上式成立．
∴${a}_{n}=n•{2}^{n}$．
故答案为：n•2ⁿ．

点评 本题考查数列递推式，训练了累积法求数列的通项公式，是中档题．